$S_n = \sum_{k=1}^{n} ki$と定義されるとき、以下の問題を解く。ただし、$i$は虚数単位とする。 (1) $S_4$と$S_8$を求めよ。 (2) $m$を自然数とするとき、$S_{4m}$を$m$で表せ。 (3) $S_{2011}$を求めよ。

1. 問題の内容

$S_n = \sum_{k=1}^{n} ki$と定義されるとき、以下の問題を解く。ただし、$i$は虚数単位とする。

(1) $S_4$と$S_8$を求めよ。

(2) $m$を自然数とするとき、$S_{4m}$を$m$で表せ。

(3) $S_{2011}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_4$と$S_8$を求める。

まず、$S_n$の定義に従って$S_4$と$S_8$を計算する。

$S_4 = 1i + 2i + 3i + 4i = (1+2+3+4)i = 10i$

$S_8 = 1i + 2i + 3i + 4i + 5i + 6i + 7i + 8i = (1+2+3+4+5+6+7+8)i = 36i$

(2) $S_{4m}$を$m$で表す。

$S_{4m} = \sum_{k=1}^{4m} ki = (1+2+3+...+4m)i$

等差数列の和の公式を使うと、$1+2+3+...+4m = \frac{4m(4m+1)}{2} = 2m(4m+1) = 8m^2 + 2m$

したがって、$S_{4m} = (8m^2 + 2m)i$

(3) $S_{2011}$を求める。

$S_{2011} = \sum_{k=1}^{2011} ki$

$2011 = 4 \times 502 + 3$なので、$S_{2011} = S_{4 \times 502 + 3}$

$S_{2011} = (1+2+...+2011)i = (\sum_{k=1}^{2008} ki) + (2009i + 2010i + 2011i)$

$S_{2008}$ は $S_{4m}$ の $m=502$ の場合なので、$S_{2008} = (8(502)^2 + 2(502))i = (8(252004) + 1004)i = (2016032+1004)i = 2017036i$

$S_{2011} = S_{2008} + (2009+2010+2011)i = 2017036i + 6030i = 2023066i$

$S_{2011} = \frac{2011 \times 2012}{2} i = 2011 \times 1006 i = 2023066i$

3. 最終的な答え

(1) $S_4 = 10i$, $S_8 = 36i$

(2) $S_{4m} = (8m^2 + 2m)i$

(3) $S_{2011} = 2023066i$