与えられた数列の和を求めます。数列は以下の通りです。 $1 + (1+2) + (1+2+2^2) + \cdots + (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1})$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求めます。数列は以下の通りです。

$1 + (1+2) + (1+2+2^2) + \cdots + (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1})$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。第$k$項は、$1+2+2^2+\cdots+2^{k-1}$で表されます。

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、次の式で計算できます。

$1+2+2^2+\cdots+2^{k-1} = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^n (2^k - 1)$

この和を計算するために、シグマを分割します。

$\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$

それぞれの和を計算します。$\sum_{k=1}^n 2^k$は初項2、公比2の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} - n - 2$