数列の第 $k$ 項 $a_k$ が与えられており、$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$ である。このとき、$k=1$ から $k=n$ までの $a_k$ の和 $\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列の第 $k$ 項 $a_k$ が与えられており、$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$ である。このとき、$k=1$ から $k=n$ までの $a_k$ の和 $\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^n a_k$ を $a_k = 2^k - 1$ で置き換える。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2^k - 1)$

次に、和の記号を分配する。

$\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$

ここで、$\sum_{k=1}^n 2^k$ は初項2、公比2の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$

また、$\sum_{k=1}^n 1 = n$ である。したがって、

$\sum_{k=1}^n a_k = 2(2^n - 1) - n = 2^{n+1} - 2 - n = 2^{n+1} - n - 2$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n a_k = 2^{n+1} - n - 2$