問題は、$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $a^2 - 3ab + b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a^2 - 3ab + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

まず、$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ なので、$3 < \sqrt{5}+1 < 4$ となります。

したがって、$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分は $a=3$ です。

小数部分は $b = (\sqrt{5}+1) - a = (\sqrt{5}+1) - 3 = \sqrt{5} - 2$ となります。

(2) $a^2 - 3ab + b^2$ の値を求める。

$a=3$、$b = \sqrt{5} - 2$ を $a^2 - 3ab + b^2$ に代入します。

\begin{align*}

a^2 - 3ab + b^2 &= 3^2 - 3(3)(\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}-2)^2 \\

&= 9 - 9(\sqrt{5}-2) + (5 - 4\sqrt{5} + 4) \\

&= 9 - 9\sqrt{5} + 18 + 9 - 4\sqrt{5} \\

&= 36 - 13\sqrt{5}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{5}-2$

(2) $36 - 13\sqrt{5}$