数列の和 $S_n$ が $S_n = 2^n + 3^n - 2$ で与えられているとき、数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の和 $S_n$ が $S_n = 2^n + 3^n - 2$ で与えられているとき、数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の和と一般項の関係を利用します。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

が成り立ちます。

まず、$S_1$ を求めます。

$S_1 = 2^1 + 3^1 - 2 = 2 + 3 - 2 = 3$

よって、$a_1 = S_1 = 3$

次に、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n + 3^n - 2) - (2^{n-1} + 3^{n-1} - 2) = 2^n - 2^{n-1} + 3^n - 3^{n-1}$

$a_n = 2^{n-1}(2-1) + 3^{n-1}(3-1) = 2^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-1}$

$n=1$ のとき、上の式に代入すると

$a_1 = 2^0 + 2 \cdot 3^0 = 1 + 2 = 3$

これは最初に求めた $a_1 = 3$ と一致するので、$a_n = 2^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-1}$ は $n=1$ でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-1}$