実数 $a$, $b$ に関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられています。 $p: a+b > 0$ $q: ab > 0$ $r: a > 0$ 以下の3つの命題について、空欄に当てはまる選択肢（1〜4）を答えます。 ・$p$ は $q$ であるための（1） ・「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（2） ・$p$ は 「$q$ かつ $r$」であるための（3） 選択肢： 1. 必要条件であるが十分条件でない

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ に関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられています。

$p: a+b > 0$

$q: ab > 0$

$r: a > 0$

以下の3つの命題について、空欄に当てはまる選択肢（1〜4）を答えます。

・$p$ は $q$ であるための（1）

・「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（2）

・$p$ は 「$q$ かつ $r$」であるための（3）

選択肢：

1. 必要条件であるが十分条件でない

2. 十分条件であるが必要条件でない

3. 必要十分条件である

4. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $p$ は $q$ であるための（1）

$p \Rightarrow q$ が成り立つか、$q \Rightarrow p$ が成り立つかを調べます。

$p \Rightarrow q$: $a+b > 0$ ならば $ab > 0$ であるか。

これは成り立ちません。反例として、$a=2$, $b=-1$ があります。$a+b=1>0$ ですが、$ab = -2 < 0$ です。

$q \Rightarrow p$: $ab > 0$ ならば $a+b > 0$ であるか。

これも成り立ちません。反例として、$a=-1$, $b=-2$ があります。$ab = 2 > 0$ ですが、$a+b = -3 < 0$ です。

したがって、$p \Rightarrow q$ も $q \Rightarrow p$ も成り立たないので、必要条件でも十分条件でもありません。

答えは4です。

(2) 「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（2）

「$p$ かつ $q$」$\Rightarrow r$ が成り立つか、$r \Rightarrow$「$p$ かつ $q$」が成り立つかを調べます。

「$p$ かつ $q$」: $a+b > 0$ かつ $ab > 0$

「$p$ かつ $q$」$\Rightarrow r$: $a+b > 0$ かつ $ab > 0$ ならば $a > 0$ であるか。

$ab>0$ より、$a$と$b$は同符号です。$a+b>0$より、$a$と$b$はともに正である必要があります。したがって、$a>0$ が成り立ちます。

$r \Rightarrow$「$p$ かつ $q$」: $a > 0$ ならば $a+b > 0$ かつ $ab > 0$ であるか。

これは成り立ちません。反例として、$a=1$, $b=-2$ があります。$a=1>0$ ですが、$a+b = -1 < 0$ かつ $ab = -2 < 0$ です。

したがって、「$p$ かつ $q$」$\Rightarrow r$ は成り立ち、$r \Rightarrow$「$p$ かつ $q$」は成り立たないので、十分条件であるが必要条件ではありません。

答えは2です。

(3) $p$ は 「$q$ かつ $r$」であるための（3）

$p \Rightarrow$「$q$ かつ $r$」が成り立つか、「$q$ かつ $r$」$\Rightarrow p$ が成り立つかを調べます。

「$q$ かつ $r$」: $ab > 0$ かつ $a > 0$

$p \Rightarrow$「$q$ かつ $r$」: $a+b > 0$ ならば $ab > 0$ かつ $a > 0$ であるか。

これは成り立ちません。反例として、$a = -1, b = 2$ があります。$a+b = 1 > 0$ ですが、$a<0$ なので $ab > 0$ かつ $a>0$ は成り立ちません。

「$q$ かつ $r$」$\Rightarrow p$: $ab > 0$ かつ $a > 0$ ならば $a+b > 0$ であるか。

$ab>0$ かつ $a>0$ より、$b>0$ です。したがって、$a+b>0$ が成り立ちます。

したがって、$p \Rightarrow$「$q$ かつ $r$」は成り立たず、「$q$ かつ $r$」$\Rightarrow p$ は成り立つので、必要条件であるが必要条件ではありません。

答えは1です。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2

(3) 1