2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k = 0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 * 2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。 * 2より大きい2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k = 0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

* 2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

* 2より大きい2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの異なる実数解を持つ条件

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で求められます。

この問題では、$a = 1$, $b = -2k$, $c = 3k$ なので、判別式は

$D = (-2k)^2 - 4(1)(3k) = 4k^2 - 12k$

$D > 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$4k^2 - 12k > 0$

$4k(k - 3) > 0$

$k(k - 3) > 0$

この不等式を解くと、$k < 0$ または $3 < k$ となります。

(2) 2より大きい2つの異なる実数解を持つ条件

2つの解がともに2より大きい条件は、以下の3つを満たす必要があります。

* 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* 軸 > 2 (2つの解が2より大きい)

* $f(2) > 0$ (2より大きい解を持つ)

まず、(1)より $D > 0$ の条件は $k < 0$ または $3 < k$ です。

次に、軸について考えます。

2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k = 0$ の軸は、$x = -b / 2a = -(-2k) / 2(1) = k$ です。

軸が2より大きいので、$k > 2$ 。

最後に、$f(2) > 0$ を考えます。$f(x) = x^2 - 2kx + 3k$ なので、$f(2) = 2^2 - 2k(2) + 3k = 4 - 4k + 3k = 4 - k$

$f(2) > 0$ より、$4 - k > 0$ なので、$k < 4$ 。

以上の3つの条件、$k < 0$ または $3 < k$, $k > 2$, $k < 4$ をすべて満たす $k$ の範囲は、$3 < k < 4$ です。

3. 最終的な答え

* 2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲: $k < 0, 3 < k$

* 2より大きい2つの異なる実数解を持つような $k$ の値の範囲: $3 < k < 4$