与えられた方程式 $5(1 + 2\log_3 x) - 4(\log_3 x)^2 + 1 = 0$ を解き、$2(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x - 3 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $5(1 + 2\log_3 x) - 4(\log_3 x)^2 + 1 = 0$ を解き、$2(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x - 3 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の式を変形します。

$5(1 + 2\log_3 x) - 4(\log_3 x)^2 + 1 = 0$

$5 + 10\log_3 x - 4(\log_3 x)^2 + 1 = 0$

$-4(\log_3 x)^2 + 10\log_3 x + 6 = 0$

$4(\log_3 x)^2 - 10\log_3 x - 6 = 0$

$2(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x - 3 = 0$

これは二つ目の式と同じ形なので、二つ目の式を解くことになります。

$y = \log_3 x$ と置換すると、$2y^2 - 5y - 3 = 0$ となります。

この二次方程式を解きます。

$(2y + 1)(y - 3) = 0$

よって、$y = -\frac{1}{2}$ または $y = 3$ です。

$y = \log_3 x$ でしたので、

$\log_3 x = -\frac{1}{2}$ または $\log_3 x = 3$ となります。

$\log_3 x = -\frac{1}{2}$ のとき、 $x = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\log_3 x = 3$ のとき、 $x = 3^3 = 27$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, 27$