与えられた画像には5つの問題があります。それぞれ以下の通りです。 (1) 2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。 (2) 2次方程式 $3x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。 (3) $3 + \sqrt{5}i$、$3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。 (4) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ を因数分解せよ。 (5) 多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると $2x + 5$ 余る。このとき、$P(x)$ を $x + 5$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

与えられた画像には5つの問題があります。それぞれ以下の通りです。

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。

(2) 2次方程式 $3x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

(3) $3 + \sqrt{5}i$、$3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

(4) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ を因数分解せよ。

(5) 多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると $2x + 5$ 余る。このとき、$P(x)$ を $x + 5$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 3$

$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 + \alpha\beta = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$

(2)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{3} = 1$

$\alpha \beta = \frac{2}{3}$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

(3)

2つの解が $3 + \sqrt{5}i$、$3 - \sqrt{5}i$ なので、解と係数の関係を逆に用いると、

$(x - (3 + \sqrt{5}i))(x - (3 - \sqrt{5}i)) = (x - 3 - \sqrt{5}i)(x - 3 + \sqrt{5}i) = ((x-3) - \sqrt{5}i)((x-3) + \sqrt{5}i) = (x-3)^2 + 5 = x^2 - 6x + 9 + 5 = x^2 - 6x + 14$

(4)

$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$

よって、$x - 1$ は因数である。

筆算または組み立て除法により、

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

(5)

$P(x) = (x^2 + 3x - 10)Q(x) + 2x + 5$

$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$ なので、

$P(x) = (x + 5)(x - 2)Q(x) + 2x + 5$

$P(-5) = (-5 + 5)(-5 - 2)Q(-5) + 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5$

よって、$P(x)$ を $x + 5$ で割った余りは $-5$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) -1

(3) $x^2 - 6x + 14$

(4) $(x - 1)(x - 3)(x + 2)$

(5) -5