2次関数 $y = x^2 - (a+3)x + a^2$ のグラフが与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を求める。 (1) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分で交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (a+3)x + a^2$ のグラフが与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

(1) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分で交わる。

2. 解き方の手順

(1) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と異なる2点で交わるための条件

$f(x) = x^2 - (a+3)x + a^2$ とおく。

(i) 判別式 $D > 0$

$D = (a+3)^2 - 4a^2 = a^2 + 6a + 9 - 4a^2 = -3a^2 + 6a + 9 > 0$

$3a^2 - 6a - 9 < 0$

$a^2 - 2a - 3 < 0$

$(a-3)(a+1) < 0$

$-1 < a < 3$

(ii) 軸の位置 $> 1$

軸の方程式は $x = \frac{a+3}{2}$ なので、 $\frac{a+3}{2} > 1$

$a+3 > 2$

$a > -1$

(iii) $f(1) > 0$

$f(1) = 1 - (a+3) + a^2 = a^2 - a - 2 > 0$

$(a-2)(a+1) > 0$

$a < -1$ または $a > 2$

(i), (ii), (iii) をすべて満たす $a$ の範囲は、$2 < a < 3$

(2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分で交わるための条件

$f(1) < 0$ である。

$f(1) = a^2 - a - 2 < 0$

$(a-2)(a+1) < 0$

$-1 < a < 2$

3. 最終的な答え

(1) $2 < a < 3$

(2) $-1 < a < 2$