4つの数字0, 1, 2, 3から重複を許して5個の数字を並べてできる5桁の整数は何個あるか。また、そのうち奇数であるものは何個あるか。

1. 問題の内容

4つの数字0, 1, 2, 3から重複を許して5個の数字を並べてできる5桁の整数は何個あるか。また、そのうち奇数であるものは何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数の個数を求める。

5桁の整数を作るので、一番左の桁（万の位）は0であってはいけない。したがって、万の位には1, 2, 3のいずれかの数字が入る。残りの4つの桁には、0, 1, 2, 3のいずれかの数字が入る。

万の位の選び方は3通り。

残りの各桁の選び方は4通り。

したがって、5桁の整数の個数は、

$3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^4 = 3 \times 256 = 768$個。

(2) 5桁の整数のうち奇数であるものの個数を求める。

5桁の整数が奇数であるためには、一の位が1または3である必要がある。

(i) 一の位が1である場合

万の位は0以外なので、1, 2, 3のいずれか。残りの千の位、百の位、十の位には0, 1, 2, 3のいずれかが入る。

万の位の選び方は3通り。

千の位、百の位、十の位の選び方はそれぞれ4通り。

したがって、$3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 1 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$個。

(ii) 一の位が3である場合

万の位は0以外なので、1, 2, 3のいずれか。残りの千の位、百の位、十の位には0, 1, 2, 3のいずれかが入る。

万の位の選び方は3通り。

千の位、百の位、十の位の選び方はそれぞれ4通り。

したがって、$3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 1 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$個。

(i)と(ii)より、奇数の個数は$192 + 192 = 384$個。

3. 最終的な答え

5桁の整数は768個。そのうち奇数は384個。