$2\sqrt{13}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a, b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$2\sqrt{13}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a, b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{13}$ のおおよその値を求めます。

$\sqrt{13}$ は $\sqrt{9} = 3$ と $\sqrt{16} = 4$ の間にあります。より具体的には、$\sqrt{13}$ は3と4の間で、3に近い値です。

$3.5^2 = 12.25$, $3.6^2 = 12.96$, $3.7^2 = 13.69$ であるため、$3.6 < \sqrt{13} < 3.7$ が分かります。

したがって、$2\sqrt{13}$ は、$2 \times 3.6 = 7.2$ と $2 \times 3.7 = 7.4$ の間にあることがわかります。

より正確に評価するために、不等式を使います。

$3^2 < 13 < 4^2$ より $3 < \sqrt{13} < 4$ 。

よって、 $2 \times 3 < 2\sqrt{13} < 2 \times 4$ すなわち、$6 < 2\sqrt{13} < 8$ 。

さらに、$3.6^2 = 12.96 < 13$ より、$3.6 < \sqrt{13}$。したがって、$2 \times 3.6 < 2\sqrt{13}$ より、$7.2 < 2\sqrt{13}$ 。

$3.61^2=13.0321>13$ より $3.61>\sqrt{13}$ 。したがって、$2\sqrt{13} < 2\times 3.61 = 7.22$。

$2\sqrt{13}$ の整数部分は7であると推測できます。

$(\sqrt{13})^2 = 13$ より、$2\sqrt{13} = \sqrt{4} \sqrt{13} = \sqrt{52}$ と変形できます。

$\sqrt{49} = 7 < \sqrt{52} < \sqrt{64} = 8$ であるので、$7 < 2\sqrt{13} < 8$ です。

したがって、整数部分 $a = 7$ です。

小数部分 $b$ は、$2\sqrt{13} = a + b$ より、$b = 2\sqrt{13} - a = 2\sqrt{13} - 7$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 2\sqrt{13} - 7$