$\sqrt{2^3 \times 3^4 \times 5 \times 6^3 \times 7^3 \times a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2^3 \times 3^4 \times 5 \times 6^3 \times 7^3 \times a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理するために、まず $6^3$ を素因数分解します。$6 = 2 \times 3$ なので、$6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3$ となります。したがって、与えられた式は次のようになります。

$\sqrt{2^3 \times 3^4 \times 5 \times 2^3 \times 3^3 \times 7^3 \times a}$

次に、根号の中を整理します。

$2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$

$3^4 \times 3^3 = 3^{4+3} = 3^7$

したがって、

$\sqrt{2^6 \times 3^7 \times 5 \times 7^3 \times a}$

根号の中の式が自然数の2乗となるためには、各素因数の指数が偶数でなければなりません。

$2^6$ の指数は偶数です。

$3^7$ の指数は奇数なので、少なくとも3が1つ必要です。

$5$ の指数は奇数なので、少なくとも5が1つ必要です。

$7^3$ の指数は奇数なので、少なくとも7が1つ必要です。

したがって、$a$ は $3 \times 5 \times 7$ の倍数である必要があります。

$a$ の最小値は $3 \times 5 \times 7 = 105$ です。

3. 最終的な答え

105