2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y$ の最大値を求めます。 (2) 定義域が $2 \leq x \leq 5$ のとき、$y$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y$ の最大値を求めます。

(2) 定義域が $2 \leq x \leq 5$ のとき、$y$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 6x - 4$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) - 4$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4$

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 4$

$y = -(x - 3)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(3, 5)$ となります。上に凸のグラフなので、最大値は $5$ です。

(2) 定義域 $2 \leq x \leq 5$ における最小値を考えます。

軸 $x = 3$ は定義域に含まれます。

$x = 2$ のとき、

$y = -(2 - 3)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$

$x = 5$ のとき、

$y = -(5 - 3)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$

よって、定義域 $2 \leq x \leq 5$ における最小値は $1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 1