この問題は、数に関する条件や命題について、以下の内容を問うものです。 * 必要条件、十分条件、必要十分条件の判別 * 条件の否定 * 命題の証明（整数に関する命題の証明）

## 問題の回答

1. 問題の内容

この問題は、数に関する条件や命題について、以下の内容を問うものです。

* 必要条件、十分条件、必要十分条件の判別

* 条件の否定

* 命題の証明（整数に関する命題の証明）

2. 解き方の手順

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5. 必要条件、十分条件、必要十分条件の判別**

(1) $x = 1$ は $x^2 = 1$ であるための **十分** 条件である。

* $x = 1$ ならば、$x^2 = 1$ は必ず成り立つ。

* しかし、$x^2 = 1$ は $x = 1$ または $x = -1$ なので、$x^2 = 1$ であっても $x = 1$ とは限らない。

(2) $x \leq 1$ は $x \leq 0$ であるための **必要** 条件である。

* $x \leq 0$ ならば、$x \leq 1$ は必ず成り立つ。

* しかし、$x \leq 1$ であっても、$x \leq 0$ とは限らない。

(3) $\vert x - y \vert = 0$ は $x = y$ であるための **必要十分** 条件である。

* $\vert x - y \vert = 0$ ならば、$x - y = 0$ なので、$x = y$ である。

* $x = y$ ならば、$x - y = 0$ なので、$\vert x - y \vert = 0$ である。

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7. 条件の否定**

(1) $n$ は奇数である の否定: $n$ は偶数である。

(2) $n$ は 3 より小さい の否定: $n$ は 3 以上である。

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8. 条件の否定**

(1) $a = 3$ かつ $b = 5$ の否定: $a \neq 3$ または $b \neq 5$

(2) $a \leq 0$ または $b \leq 0$ の否定: $a > 0$ かつ $b > 0$

(3) $1 < a \leq 2$ の否定: $a \leq 1$ または $a > 2$

(4) $m, n$ はともに 1 以下である の否定: $m > 1$ または $n > 1$

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9. 命題の証明**

(1) $n^2 + 1$ は奇数 $\implies$ $n$ は偶数

対偶: $n$ は奇数 $\implies$ $n^2 + 1$ は偶数

証明:

$n$ が奇数であるとする。このとき、$n = 2k + 1$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)$

$2k^2 + 2k + 1$ は整数なので、$n^2 + 1$ は偶数である。

したがって、対偶が真なので、元の命題も真である。

(2) $m^2 + n^2$ は奇数 $\implies$ $mn$ は偶数

対偶: $mn$ は奇数 $\implies$ $m^2 + n^2$ は偶数

証明:

$mn$ が奇数であるとする。このとき、$m$ と $n$ はともに奇数である。

したがって、$m = 2k + 1$、$n = 2l + 1$ ($k, l$ は整数) と表せる。

$m^2 + n^2 = (2k + 1)^2 + (2l + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 = 4k^2 + 4k + 4l^2 + 4l + 2 = 2(2k^2 + 2k + 2l^2 + 2l + 1)$

$2k^2 + 2k + 2l^2 + 2l + 1$ は整数なので、$m^2 + n^2$ は偶数である。

したがって、対偶が真なので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

**25.**

(1) 十分

(2) 必要

(3) 必要十分

**27.**

(1) $n$ は偶数である

(2) $n$ は 3 以上である

**28.**

(1) $a \neq 3$ または $b \neq 5$

(2) $a > 0$ かつ $b > 0$

(3) $a \leq 1$ または $a > 2$

(4) $m > 1$ または $n > 1$

**29.**

(1) 命題は真である (証明は上記参照)

(2) 命題は真である (証明は上記参照)