二次方程式 $2x^2 - 8x + 3k - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 重解を持つような定数 $k$ の値を求めます。 (2) 実数解を持たないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

二次方程式 $2x^2 - 8x + 3k - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 重解を持つような定数 $k$ の値を求めます。

(2) 実数解を持たないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

この場合、$a = 2$, $b = -8$, $c = 3k - 1$ なので、判別式は以下のようになります。

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3k - 1) = 64 - 8(3k - 1) = 64 - 24k + 8 = 72 - 24k$

$D = 0$ となる $k$ の値を求めます。

$72 - 24k = 0$

$24k = 72$

$k = 3$

(2) 二次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D < 0$ となることです。

(1)で求めた判別式を利用して、 $D < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$72 - 24k < 0$

$24k > 72$

$k > 3$

3. 最終的な答え

(1) 重解をもつような定数 $k$ の値: $k = 3$

(2) 実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲: $k > 3$