全ての実数 $x$ に対して不等式 $2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ が成り立つような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

全ての実数 $x$ に対して不等式 $2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ が成り立つような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ は $4 \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - a > 0$ と書き換えられます。

$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ です。すると、不等式は

$4t^2 + 2t - a > 0$

となります。

$f(t) = 4t^2 + 2t - a$ とおくと、$t > 0$ で $f(t) > 0$ が成り立つ条件を求めることになります。

$f(t)$ は下に凸な放物線なので、軸の位置を考えます。

軸は $t = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}$ です。

軸が負であるため、$t > 0$ において $f(t)$ は単調増加とは限りません。

$t > 0$ で $f(t) > 0$ となるためには、$f(0) \ge 0$ であればよいわけではありません。

なぜなら、$f(0) = -a$ なので、$f(0) \ge 0$ というのは $-a \ge 0$ すなわち $a \le 0$ を意味しますが、$a \le 0$ では、$t \to \infty$ で $f(t) > 0$ であることは言えても、すべての $t>0$ に対して $f(t)>0$ であることは言えません。

$t > 0$ における $f(t)$ の最小値を考えます。$f(t)$ は下に凸な放物線であり、軸は $t = -\frac{1}{4}$ なので、区間 $t > 0$ における最小値は $f(0)$ となります。したがって、$t > 0$ で $f(t) > 0$ となるためには、$f(0) \ge 0$ ではなく、$t > 0$ で $f(t)$ の最小値が0より大きくなることが必要です。

頂点の $t$ 座標が負であるため、区間 $t>0$ では、$f(t)$ は $t=0$ に最も近い場所で最小値をとります。そこで、$t=0$を代入したときの値が0より大きければ良いことがわかります。

$f(0) = -a > 0$ より、$a < 0$

平方完成すると、$f(t) = 4(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} - a$ となります。

最小値は $t = 0$ の時なので、$f(0) = -a > 0$ より $a < 0$

$4t^2 + 2t - a = 0$ の判別式をDとすると、$D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-a) = 4 + 16a$ となります。

もし $D \le 0$ であれば $a \le -\frac{1}{4}$ となり、常に $4t^2 + 2t - a \ge 0$ となります。

もし $D > 0$ であれば、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4+16a}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{4}$

となります。

$t > 0$ で $f(t) > 0$ が成立するためには、$f(t)=0$ となる実数解がないか、あっても負である必要があります。

$f(0) = -a > 0$ である必要があるので、$a < 0$ です。

$4t^2 + 2t - a > 0$ となるためには、判別式 $D < 0$ である必要があります。

したがって、$4 + 16a < 0$ より、$a < -\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{4}$