与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3^k - k^3)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3^k - k^3)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号を分配して、2つの和に分けます。

$\sum_{k=1}^{n} (3^k - k^3) = \sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} k^3$

次に、それぞれの和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は初項3、公比3の等比数列の和であるため、以下の式で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3$ は立方数の和であり、以下の公式があります。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (3^k - k^3) = \frac{3(3^n - 1)}{2} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3(3^n - 1)}{2} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$