数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ で定義されている。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ で定義されている。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$ である。このとき、$a_{n+1} = 2^{n+1} b_{n+1}$ となる。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ に代入すると、

$2^{n+1} b_{n+1} = 3 \cdot 2^n b_n + 2^n$

両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

(2) $b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$ を変形する。

$b_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (b_n + 1)$

数列 $\{b_n+1\}$ は、初項 $b_1+1 = \frac{a_1}{2^1} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

よって、$b_n + 1 = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1} = (\frac{3}{2})^n$

$b_n = (\frac{3}{2})^n - 1$

(3) $a_n = 2^n b_n$ であったので、

$a_n = 2^n ((\frac{3}{2})^n - 1) = 3^n - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

(2) $b_n = (\frac{3}{2})^n - 1$

(3) $a_n = 3^n - 2^n$