2次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ について、以下の問いに答えます。 (1) 2次関数のグラフを描き、軸と頂点を求めます。 (2) 範囲 $a \le x \le a+2$ における最大値 $M$ を求めます。ただし、$a$ は定数とします。 (3) $M=2$ のとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ について、以下の問いに答えます。

(1) 2次関数のグラフを描き、軸と頂点を求めます。

(2) 範囲 $a \le x \le a+2$ における最大値 $M$ を求めます。ただし、$a$ は定数とします。

(3) $M=2$ のとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 2 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2 = (x-2)^2 - 2$

したがって、軸は $x=2$ で、頂点は $(2, -2)$ です。グラフは、頂点が $(2, -2)$ で下に凸の放物線になります。

(2) 範囲 $a \le x \le a+2$ における最大値 $M$ を求めます。

軸 $x=2$ が範囲に含まれるかどうかで場合分けします。

* $a+2 < 2$ のとき、つまり $a < 0$ のとき、最大値は $x=a$ で $y=a^2 - 4a + 2$ となります。よって、$M = a^2 - 4a + 2$

* $a \le 2 \le a+2$ のとき、つまり $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $x=a$ または $x=a+2$ でとります。

$x=a$ のとき $y=a^2 - 4a + 2$ で、$x=a+2$ のとき $y = (a+2)^2 - 4(a+2) + 2 = a^2 + 4a + 4 - 4a - 8 + 2 = a^2 - 2$ となります。

$a^2 - 4a + 2$ と $a^2 - 2$ を比較します。 $(a^2-2) - (a^2 - 4a + 2) = 4a-4$。

$4a-4 \ge 0$ のとき、$a^2 - 2 \ge a^2 - 4a + 2$ となり、$4a - 4 \le 0$のとき、$a^2 - 2 \le a^2 - 4a + 2$ となります。

よって、$a \ge 1$ のとき $M = a^2 - 2$ であり、$a < 1$ のとき $M = a^2 - 4a + 2$ です。

* $a > 2$ のとき、最大値は $x=a+2$ で $y = (a+2)^2 - 4(a+2) + 2 = a^2 - 2$ となります。よって、$M = a^2 - 2$

まとめると、

$a < 0$ のとき $M = a^2 - 4a + 2$

$0 \le a < 1$ のとき $M = a^2 - 4a + 2$

$1 \le a \le 2$ のとき $M = a^2 - 2$

$a > 2$ のとき $M = a^2 - 2$

(3) $M=2$ のとき、$a$ の値を求めます。

* $a < 0$ のとき $a^2 - 4a + 2 = 2$ より $a^2 - 4a = 0$ なので $a(a-4)=0$。よって $a=0, 4$。ただし、$a<0$ なので、解なし。

* $0 \le a < 1$ のとき $a^2 - 4a + 2 = 2$ より $a^2 - 4a = 0$ なので $a(a-4)=0$。よって $a=0, 4$。$0 \le a < 1$ を満たすのは $a=0$

* $1 \le a \le 2$ のとき $a^2 - 2 = 2$ より $a^2 = 4$ なので $a = \pm 2$。$1 \le a \le 2$ を満たすのは $a=2$

* $a > 2$ のとき $a^2 - 2 = 2$ より $a^2 = 4$ なので $a = \pm 2$。$a>2$ を満たす解なし。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x=2$, 頂点: $(2, -2)$

(2) $a < 0$ のとき $M = a^2 - 4a + 2$, $0 \le a < 1$ のとき $M = a^2 - 4a + 2$, $1 \le a \le 2$ のとき $M = a^2 - 2$, $a > 2$ のとき $M = a^2 - 2$

(3) $a = 0, 2$