長さ25mのプールで、姉と妹が同じスタートラインから別々のレーンを泳ぎ、一定の速さで一往復する。妹はスタートして50秒後にゴールし、姉は妹より14秒遅くスタートして、4秒遅くゴールする。妹がスタートしてから $x$ 秒後の妹と姉の位置を、スタート地点からの距離 $y$ mとして表したグラフが与えられている。 (1) 姉と妹の泳ぐ速さをそれぞれ求めよ。 (2) 妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か求めよ。

1. 問題の内容

長さ25mのプールで、姉と妹が同じスタートラインから別々のレーンを泳ぎ、一定の速さで一往復する。妹はスタートして50秒後にゴールし、姉は妹より14秒遅くスタートして、4秒遅くゴールする。妹がスタートしてから $x$ 秒後の妹と姉の位置を、スタート地点からの距離 $y$ mとして表したグラフが与えられている。

(1) 姉と妹の泳ぐ速さをそれぞれ求めよ。

(2) 妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 姉と妹の泳ぐ速さを求める。

妹は50秒で25m進むので、妹の速さは $\frac{25}{50} = 0.5$ m/s。

姉は妹より14秒遅くスタートし4秒遅くゴールするので、スタートからゴールまで $50 + 14 - 4 = 60$ 秒かかる。

姉の速さは $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ m/s。

(2) 妹と姉がすれ違った時間を求める。

妹のグラフは原点を通る直線であり、姉のグラフは(14, 0)を通る直線である。

妹のグラフの式は $y = 0.5x$。

姉のグラフの式を求める。

姉は(14,0)から(60,25)まで行くので、この間の傾きは $\frac{25-0}{60-14}=\frac{25}{46}$。

$y=\frac{5}{12}x + b$に(54,0)を代入して

$0=\frac{5}{12}(54)+b$なので、$b = -\frac{5}{12}(54) = -\frac{5}{2}(9) = -\frac{45}{2}$

姉のグラフの式は $y = \frac{5}{12}(x-14)$.

連立方程式

$y = 0.5x$

$y = \frac{5}{12}(x-14)$

を解く。

$0.5x = \frac{5}{12}(x-14)$

$\frac{1}{2}x = \frac{5}{12}x - \frac{5}{12} \times 14$

$\frac{1}{2}x - \frac{5}{12}x = - \frac{35}{6}$

$\frac{6-5}{12}x = -\frac{35}{6}$

$\frac{1}{12}x = -\frac{35}{6}$

$x = -\frac{35}{6} \times 12 = -70$

姉のグラフの式を求める。

姉は(14,0)から(14+60,0)までかかるので、50秒後に25m進むまでにかかる時間は60秒

姉の進むグラフの傾きは$\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$なので、$y = \frac{5}{12}(x-14)$

$y=\frac{25}{12}(x-54)$

$0.5x=\frac{5}{12}(x-14)$

$6x=5x-70$

$x=70$

3. 最終的な答え

(1) 妹の速さ：0.5 m/s, 姉の速さ：5/12 m/s

(2) 妹がスタートしてから70秒後