すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^xa + 1 - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^xa + 1 - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$

$4 \cdot (2^x)^2 + a(2^x - 1) + 1 > 0$

$t = 2^x$ とおくと、$t>0$ です。

$4t^2 + a(t-1) + 1 > 0$

$4t^2 + at - a + 1 > 0$

$f(t) = 4t^2 + at - a + 1$ とおきます。

すべての $t>0$ に対して $f(t) > 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求めます。

$f(t)$ は下に凸な2次関数なので、軸の位置に注意して場合分けを行います。

$f(t) = 4t^2 + at - a + 1 = 4(t + \frac{a}{8})^2 - \frac{a^2}{16} - a + 1$

軸は $t = -\frac{a}{8}$ です。

(i) $-\frac{a}{8} \ge 0$ すなわち $a \le 0$ のとき、

$f(t)$ は $t>0$ で増加関数なので、$f(0) > 0$ であれば良いです。

$f(0) = -a + 1 > 0$ より、$a < 1$

したがって、$a \le 0$ と $a < 1$ より、$a \le 0$

(ii) $-\frac{a}{8} < 0$ すなわち $a > 0$ のとき、

$f(t) > 0$ となるのは、判別式 $D < 0$ または、$f(-\frac{a}{8}) > 0$ が成り立つときです。

ただし今回は $t>0$ なので、$f(t)=0$の解が正の解を２つ持つ場合も考えなくてはいけません。

判別式 $D = a^2 - 4(4)(1-a) = a^2 + 16a - 16$

$D < 0$ となるのは、$-8-4\sqrt{5} < a < -8+4\sqrt{5}$ ですが、$a > 0$ より、$0 < a < -8+4\sqrt{5}$となります。

$-8+4\sqrt{5} \simeq 0.944$ なので、 $0 < a < -8+4\sqrt{5}$

$f(-\frac{a}{8}) = -\frac{a^2}{16} - a + 1 > 0$ を解くと、

$a^2 + 16a - 16 < 0$ となり、$-8-4\sqrt{5} < a < -8+4\sqrt{5}$ となります。$a > 0$ なので、$0 < a < -8+4\sqrt{5}$

軸が $t = -\frac{a}{8} < 0$ なので、$f(0) = 1-a > 0$ つまり、$a < 1$ であれば良いです。

したがって、$a \le 0$ または $0 < a < -8+4\sqrt{5}$ となり、$a < -8 + 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a < -8 + 4\sqrt{5}$