すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2}+2^{x+1}-a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2}+2^{x+1}-a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$

$2^2 \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - a > 0$

$4 (2^x)^2 + 2 (2^x) - a > 0$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ です。

$4t^2 + 2t - a > 0$

この不等式がすべての $t > 0$ で成り立つような $a$ の範囲を求めます。

$f(t) = 4t^2 + 2t - a$ とおくと、$f(t) > 0$ がすべての $t > 0$ で成り立つ条件を考えます。

$f(t)$ は下に凸な放物線なので、軸が $t > 0$ の範囲にあるかどうかで場合分けします。

$f(t)$ の軸は、$t = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}$ です。

したがって、軸は $t < 0$ にあります。

よって、$t > 0$ で常に $f(t) > 0$ である条件は、$f(0) \ge 0$ かつ $f(t)$ が $t>0$ で単調増加することです。

$f(0) = -a > 0$ ならば、$f(t)>0$は成り立ちません。

頂点のy座標が正であるか、$f(0)>0$　であればよいです。

$4t^2+2t-a = 4(t^2+\frac{1}{2}t)-a = 4(t+\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} - a$

$f(t) = 4(t+\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} - a > 0$

$-\frac{1}{4} - a > 0$

$a < -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{4}$