実数 $x$, $y$ が $x > 0$, $y > 0$ であり、$xy = 2$ を満たすとき、$2x + y$ の最小値を求めよ。

はい、承知しました。２つの問題に解答します。

**問題５**

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が $x > 0$, $y > 0$ であり、$xy = 2$ を満たすとき、$2x + y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用します。

$x > 0$, $y > 0$ なので、$2x > 0$, $y > 0$ です。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$$\frac{2x + y}{2} \ge \sqrt{(2x)(y)} = \sqrt{2xy}$$

$xy = 2$ を代入すると、

$$\frac{2x + y}{2} \ge \sqrt{2(2)} = \sqrt{4} = 2$$

両辺を2倍すると、

$$2x + y \ge 4$$

等号成立条件は、$2x = y$ のときです。

$xy = 2$ に代入すると、$x(2x) = 2$ となり、$2x^2 = 2$ よって、$x^2 = 1$

$x > 0$ より、$x = 1$

$y = 2x = 2(1) = 2$

よって、$x = 1$, $y = 2$ のとき、$2x + y = 2(1) + 2 = 4$

3. 最終的な答え

最小値は4

**問題６**

1. 問題の内容

２直線 $3x - 2y - 6 = 0$ と $2x + 3y - 1 = 0$ の交点と点 $(1, 2)$ を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、２直線の交点を求めます。

連立方程式

\begin{align} \label{eq:1} 3x - 2y - 6 &= 0 \\ 2x + 3y - 1 &= 0 \end{align}

を解きます。

(\ref{eq:1})式を2倍、(\ref{eq:2})式を3倍すると、

\begin{align} 6x - 4y - 12 &= 0 \\ 6x + 9y - 3 &= 0 \end{align}

上の式から下の式を引くと、

$$-13y - 9 = 0$$

$$y = -\frac{9}{13}$$

(\ref{eq:2})式に代入すると、

$$2x + 3(-\frac{9}{13}) - 1 = 0$$

$$2x - \frac{27}{13} - 1 = 0$$

$$2x = \frac{27}{13} + \frac{13}{13} = \frac{40}{13}$$

$$x = \frac{20}{13}$$

よって、交点は $(\frac{20}{13}, -\frac{9}{13})$ です。

この交点と点 $(1, 2)$ を通る直線の式を求めます。

直線の傾き $m$ は、

$$m = \frac{2 - (-\frac{9}{13})}{1 - \frac{20}{13}} = \frac{2 + \frac{9}{13}}{1 - \frac{20}{13}} = \frac{\frac{26}{13} + \frac{9}{13}}{\frac{13}{13} - \frac{20}{13}} = \frac{\frac{35}{13}}{-\frac{7}{13}} = \frac{35}{-7} = -5$$

よって、求める直線の式は、

$$y - 2 = -5(x - 1)$$

$$y - 2 = -5x + 5$$

$$y = -5x + 7$$

$$5x + y - 7 = 0$$

3. 最終的な答え

$5x + y - 7 = 0$