すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$2^{2x+2} + 2^{x+1} - a > 0$ は

$2^{2x} \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^1 - a > 0$ と書き換えられます。

つまり、$4 \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - a > 0$ です。

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t>0$ です。

このとき、不等式は $4t^2 + 2t - a > 0$ となります。

$f(t) = 4t^2 + 2t - a$ とおくと、$t > 0$ の範囲で $f(t) > 0$ となる $a$ の範囲を求めることになります。

$f(t)$ は下に凸な2次関数です。軸は $t = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}$ です。

$t>0$ で $f(t)>0$ が成り立つ条件は、$t>0$ における $f(t)$ の最小値が正であることです。

$t=0$ において、関数は最小値をとります。

$f(0) = 4(0)^2 + 2(0) - a = -a$

したがって、 $-a > 0$ となる必要があります。

よって、$a < 0$ です。

3. 最終的な答え

$a < 0$