すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$ が成立するような実数 $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ である。

与えられた不等式は次のように書き換えられる。

$2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$

$4 \cdot (2^x)^2 + a \cdot 2^x + 1 - a > 0$

$4t^2 + at + 1 - a > 0$

この不等式がすべての $t > 0$ で成立するような $a$ の範囲を求める。

$f(t) = 4t^2 + at + 1 - a$ とおく。

$f(t) > 0$ がすべての $t > 0$ で成立する条件は、以下のいずれかが成り立つことである。

(1) $f(t) = 0$ が実数解を持たない。

(2) $f(t) = 0$ が実数解を持つ場合、解がともに負であるか、または少なくとも1つの解が負である。

言い換えれば、判別式 $D < 0$ または、判別式 $D \ge 0$ かつ軸 $t = -\frac{a}{8} \le 0$ かつ $f(0) > 0$ が成り立つ。

判別式 $D = a^2 - 4 \cdot 4 \cdot (1 - a) = a^2 + 16a - 16$

(1) $D < 0$ のとき、$a^2 + 16a - 16 < 0$

解の公式より、$a = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{2} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2} = -8 \pm 4\sqrt{5}$

したがって、$-8 - 4\sqrt{5} < a < -8 + 4\sqrt{5}$

(2) $D \ge 0$ のとき、$a^2 + 16a - 16 \ge 0$

したがって、$a \le -8 - 4\sqrt{5}$ または $a \ge -8 + 4\sqrt{5}$

軸は $t = -\frac{a}{8}$ である。

$f(0) = 1 - a > 0$ より、$a < 1$

$-\frac{a}{8} \le 0$ より、$a \ge 0$

このとき、$0 \le a < 1$ と $a \ge -8 + 4\sqrt{5}$ の共通部分は、$-8 + 4\sqrt{5} \approx -8 + 4 \cdot 2.236 = -8 + 8.944 = 0.944$ であるから、$-8 + 4\sqrt{5} \le a < 1$ となる。

したがって、(1) と (2) を合わせると、$a < 1$ となる。

3. 最終的な答え

$a < 1$