問題は2つあります。 (1) $a > 0$, $b < 0$ のとき、$\sqrt{a^4b^2}$ の根号を外して簡単にすること。 (2) 次の3つの場合について、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2}$ の根号を外して簡単にすること。 (ア) $x < 0$ (イ) $0 \le x < 2$ (ウ) $2 \le x$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $a > 0$, $b < 0$ のとき、$\sqrt{a^4b^2}$ の根号を外して簡単にすること。

(2) 次の3つの場合について、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2}$ の根号を外して簡単にすること。

(ア) $x < 0$

(イ) $0 \le x < 2$

(ウ) $2 \le x$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{a^4b^2}$ を計算します。

まず、$a^4$ と $b^2$ を根号の外に出します。

$\sqrt{a^4} = a^2$ となります。なぜなら、$a>0$ なので、$a^2>0$です。

$\sqrt{b^2}$ について、$b<0$ なので、$\sqrt{b^2} = |b| = -b$ となります。

したがって、$\sqrt{a^4b^2} = a^2(-b) = -a^2b$となります。

(2)

(ア) $x < 0$ のとき

$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となります。

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = -(x-2) = 2-x$ となります。なぜなら、$x<0$なので、$x-2<0$となります。

したがって、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2} = -x + (2-x) = -2x+2$となります。

(イ) $0 \le x < 2$ のとき

$\sqrt{x^2} = |x| = x$ となります。なぜなら、$x \ge 0$だからです。

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = -(x-2) = 2-x$ となります。なぜなら、$x<2$なので、$x-2<0$となります。

したがって、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2} = x + (2-x) = 2$となります。

(ウ) $2 \le x$ のとき

$\sqrt{x^2} = |x| = x$ となります。なぜなら、$x \ge 0$だからです。

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = x-2$ となります。なぜなら、$x \ge 2$なので、$x-2 \ge 0$となります。

したがって、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2} = x + (x-2) = 2x-2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-a^2b$

(2)

(ア) $-2x+2$

(イ) $2$

(ウ) $2x-2$