座標平面上に、中心が $(-3, 1)$、半径が $r$ の円 $C_1$ があり、$C_1$ は直線 $l: 4x + 3y - 6 = 0$ に接している。 (1) $r$ の値を求める。 (2) $C_1$ と $l$ の接点を $A$ とし、以下の条件を満たす円を $C_2$ とし、$C_2$ の中心を $D$ とする。 [i] $C_2$ の中心 $D$ は第1象限にある。 [ii] $C_2$ は直線 $x = -1$ に接する。 [iii] $C_2$ は $C_1$ と点 $A$ で接する。 このとき、$D$ の座標と $C_2$ の方程式を求める。 (3) (2)のとき、点 $B(0, 1)$ を通り、円 $C_2$ と異なる2点で交わる直線を $m$ とし、$C_2$ と $m$ の交点を $P, Q$ とする。$\triangle DPQ$ の面積が最大となるときの $m$ の方程式を求める。ただし、$m$ は $D$ を通らないものとする。

1. 問題の内容

座標平面上に、中心が $(-3, 1)$、半径が $r$ の円 $C_1$ があり、$C_1$ は直線 $l: 4x + 3y - 6 = 0$ に接している。

(1) $r$ の値を求める。

(2) $C_1$ と $l$ の接点を $A$ とし、以下の条件を満たす円を $C_2$ とし、$C_2$ の中心を $D$ とする。

[i] $C_2$ の中心 $D$ は第1象限にある。

[ii] $C_2$ は直線 $x = -1$ に接する。

[iii] $C_2$ は $C_1$ と点 $A$ で接する。

このとき、$D$ の座標と $C_2$ の方程式を求める。

(3) (2)のとき、点 $B(0, 1)$ を通り、円 $C_2$ と異なる2点で交わる直線を $m$ とし、$C_2$ と $m$ の交点を $P, Q$ とする。$\triangle DPQ$ の面積が最大となるときの $m$ の方程式を求める。ただし、$m$ は $D$ を通らないものとする。

2. 解き方の手順

(1) 点と直線の距離の公式を用いる。円 $C_1$ の中心 $(-3, 1)$ と直線 $l: 4x + 3y - 6 = 0$ の距離が半径 $r$ に等しいので、

$r = \frac{|4(-3) + 3(1) - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-12 + 3 - 6|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

(2) $C_1$ の中心を $C$ とすると、$C(-3, 1)$ である。$C_1$ と $l$ の接点 $A$ は、$C$ から $l$ に下ろした垂線の足である。直線 $l$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (4, 3)$ なので、$CA$ の方向ベクトルも $(4, 3)$ である。したがって、$A$ の座標は、ある実数 $t$ を用いて

$A = (-3, 1) + t(4, 3) = (-3 + 4t, 1 + 3t)$

と表せる。$A$ は直線 $l$ 上にあるので、

$4(-3 + 4t) + 3(1 + 3t) - 6 = 0$

$-12 + 16t + 3 + 9t - 6 = 0$

$25t - 15 = 0$

$t = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

したがって、$A$ の座標は

$A = (-3 + 4(\frac{3}{5}), 1 + 3(\frac{3}{5})) = (-3 + \frac{12}{5}, 1 + \frac{9}{5}) = (-\frac{3}{5}, \frac{14}{5})$

$C_2$ の中心 $D$ は第1象限にあり、$x = -1$ に接するので、$D$ の座標は $(d, d')$, $d > 0, d' > 0$とすると、半径は$d+1$となる。$C_2$ は $C_1$ と $A$ で接するので、$D$ は直線 $CA$ 上にある。したがって、

$D = (-3, 1) + s(4, 3) = (-3 + 4s, 1 + 3s)$

と表せる。$C_2$ は直線 $x = -1$ に接するので、$|D_x + 1| = DA$。ここで$D_x$は$D$のx座標。

$D$ の $x$ 座標は $d = -3 + 4s$ なので、半径は $d + 1 = (-3 + 4s) + 1 = 4s - 2$ である。

$DA$ の距離は $4s-2$ となる。

$DA = \sqrt{(-\frac{3}{5} - (-3 + 4s))^2 + (\frac{14}{5} - (1 + 3s))^2} = \sqrt{(\frac{12}{5} - 4s)^2 + (\frac{9}{5} - 3s)^2} = 4s-2$

$(\frac{12}{5} - 4s)^2 + (\frac{9}{5} - 3s)^2 = (4s-2)^2$

$\frac{144}{25} - \frac{96}{5}s + 16s^2 + \frac{81}{25} - \frac{54}{5}s + 9s^2 = 16s^2 - 16s + 4$

$25s^2 - \frac{150}{5}s + \frac{225}{25} = 16s^2 - 16s + 4$

$25s^2 - 30s + 9 = 16s^2 - 16s + 4$

$9s^2 - 14s + 5 = 0$

$(9s - 5)(s - 1) = 0$

$s = \frac{5}{9}, 1$

もし $s = 1$ ならば、$D = (1, 4)$、半径は $2$。もし $s = \frac{5}{9}$ ならば、$D = (-3 + \frac{20}{9}, 1 + \frac{15}{9}) = (-\frac{7}{9}, \frac{24}{9})$ となり第1象限にない。

よって、$D(1, 4)$、半径は $2$。したがって、$C_2$ の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 2^2 = 4$

(3) 点 $B(0, 1)$ を通る直線 $m$ を $y = kx + 1$ とおく。すなわち、$kx - y + 1 = 0$

$\triangle DPQ$ の面積が最大になるのは、$m$ が $D(1, 4)$ から最も遠いときである。したがって、$m$ は $D(1, 4)$ に対して垂直になる。

$m$ の傾きは $-1/傾き(BD)$ に等しい。$B(0,1)$、$D(1,4)$

傾き(BD) = (4-1)/(1-0) = 3

したがって，$m$ の傾きは $-1/3$ なので、

$y = -\frac{1}{3}x + 1$

$3y = -x + 3$

$x + 3y - 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $r = 3$

(2) $D(1, 4)$, $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 4$

(3) $x + 3y - 3 = 0$