三角形OABにおいて、OA=7, OB=5, AB=8とする。また、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とする。 (1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求める。 (2) $\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$を用いて表す。ただし、Hは三角形OABの垂心である。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=7, OB=5, AB=8とする。また、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とする。

(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求める。

(2) $\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$を用いて表す。ただし、Hは三角形OABの垂心である。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の計算:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$である。

したがって、$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}|^2 = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{a}|^2$となる。

問題より、$|\overrightarrow{AB}| = 8$, $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{a}| = 7$, $|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{b}| = 5$であるから、

$8^2 = 5^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 7^2$

$64 = 25 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 49$

$64 = 74 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

$2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 74 - 64 = 10$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5$

(2) $\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$を用いて表す:

垂心Hは、$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$と表せる。

$\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{OB}$より、$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

$\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = (s-1)\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$

$((s-1)\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = (s-1)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + t|\overrightarrow{b}|^2 = 0$

$(s-1)(5) + t(25) = 0$

$5s - 5 + 25t = 0$

$s + 5t = 1$

$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{OA}$より、$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$

$\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = s\overrightarrow{a} + (t-1)\overrightarrow{b}$

$(s\overrightarrow{a} + (t-1)\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = s|\overrightarrow{a}|^2 + (t-1)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$

$s(49) + (t-1)(5) = 0$

$49s + 5t - 5 = 0$

$49s + 5t = 5$

連立方程式を解く:

$s + 5t = 1$

$49s + 5t = 5$

辺々引くと、$-48s = -4$より、$s = \frac{1}{12}$

$5t = 1 - s = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

$t = \frac{11}{60}$

よって、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{12}\overrightarrow{a} + \frac{11}{60}\overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5$

(2) $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{12}\overrightarrow{a} + \frac{11}{60}\overrightarrow{b}$