与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 点(1, -3)を通り、$x$軸に平行な直線。 (2) 点(-4, 4)を通り、直線$3x - 2y + 7 = 0$に垂直な直線。 (3) 点(5, -5)を通り、円$x^2 + y^2 = 5$に接する直線（2つ）。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(1) 点(1, -3)を通り、$x$軸に平行な直線。

(2) 点(-4, 4)を通り、直線$3x - 2y + 7 = 0$に垂直な直線。

(3) 点(5, -5)を通り、円$x^2 + y^2 = 5$に接する直線（2つ）。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸に平行な直線は、$y = k$（$k$は定数）の形で表されます。点(1, -3)を通るので、$y = -3$となります。

(2) 直線$3x - 2y + 7 = 0$の傾きを求めます。$2y = 3x + 7$より、$y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$なので、傾きは$\frac{3}{2}$です。これに垂直な直線の傾きは$-\frac{2}{3}$です。

点(-4, 4)を通り、傾きが$-\frac{2}{3}$の直線の方程式は、$y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 4)$と表されます。

これを整理すると、$y - 4 = -\frac{2}{3}x - \frac{8}{3}$となり、$y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$。

したがって、$3y = -2x + 4$、$2x + 3y - 4 = 0$となります。

(3) 円$x^2 + y^2 = 5$の中心は原点(0, 0)で、半径は$\sqrt{5}$です。点(5, -5)を通る直線の方程式を$y + 5 = m(x - 5)$とします。すなわち、$mx - y - 5m - 5 = 0$。

円の中心からこの直線までの距離が半径に等しくなる条件より、

$\frac{|m(0) - (0) - 5m - 5|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$。

$\frac{|-5m - 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$。

両辺を2乗すると、$\frac{25(m + 1)^2}{m^2 + 1} = 5$。

$5(m^2 + 2m + 1) = m^2 + 1$。

$5m^2 + 10m + 5 = m^2 + 1$。

$4m^2 + 10m + 4 = 0$。

$2m^2 + 5m + 2 = 0$。

$(2m + 1)(m + 2) = 0$。

$m = -\frac{1}{2}, -2$。

$m = -\frac{1}{2}$のとき、$y + 5 = -\frac{1}{2}(x - 5)$。$2y + 10 = -x + 5$。$x + 2y + 5 = 0$。

$m = -2$のとき、$y + 5 = -2(x - 5)$。$y + 5 = -2x + 10$。$2x + y - 5 = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3$

(2) $2x + 3y - 4 = 0$

(3) $x + 2y + 5 = 0$, $2x + y - 5 = 0$