鋭角三角形の3辺の長さが1, 3, $a$であるとき、以下の問いに答える。 (1) $a$のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) この三角形の外接円の半径が$\frac{9}{\sqrt{35}}$のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

鋭角三角形の3辺の長さが1, 3, $a$であるとき、以下の問いに答える。

(1) $a$のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) この三角形の外接円の半径が$\frac{9}{\sqrt{35}}$のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 鋭角三角形である条件と、三角形の成立条件を考える。

三角形の成立条件は、$a < 1+3$, $3 < a+1$, $1 < a+3$であるから、$2 < a < 4$となる。

鋭角三角形である条件は、最も長い辺の対角が鋭角であることから、$a$が最も長い辺の場合、$a^2 < 1^2 + 3^2$、つまり、$a^2 < 10$。1, 3が最も長い辺の場合、$1^2 < a^2+3^2$, $3^2 < 1^2+a^2$は常に成り立つ。

したがって、$a < \sqrt{10}$となる。

また、$a^2+1^2>3^2$, $a^2>8$より、$a>2\sqrt{2}$

$a>3$より、$1^2<3^2+a^2$かつ$3^2<1^2+a^2$より、$a>2\sqrt{2}$

これらを全て満たす範囲は、$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$

(2) 外接円の半径$R$が$\frac{9}{\sqrt{35}}$であるとき、正弦定理より、$\frac{3}{\sin B} = 2R = \frac{18}{\sqrt{35}}$。

したがって、$\sin B = \frac{3\sqrt{35}}{18} = \frac{\sqrt{35}}{6}$。

$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$。

$\cos B = \pm \frac{1}{6}$。

余弦定理より、$3^2 = 1^2 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cos B$。

$9 = 1 + a^2 - 2a \cos B$

$a^2 - 2a \cos B - 8 = 0$

$\cos B = \frac{1}{6}$のとき、$a^2 - \frac{1}{3}a - 8 = 0$, $3a^2 - a - 24 = 0$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1+4 \cdot 3 \cdot 24}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{1 \pm 17}{6}$

$a = 3$または$a = -\frac{8}{3}$。$a > 0$より、$a = 3$

$\cos B = -\frac{1}{6}$のとき、$a^2 + \frac{1}{3}a - 8 = 0$, $3a^2 + a - 24 = 0$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \cdot 3 \cdot 24}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{-1 \pm 17}{6}$

$a = \frac{8}{3}$または$a = -3$。$a > 0$より、$a = \frac{8}{3}$

(1)より、$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$なので、$2.8 < a < 3.1$となる。

$a = 3$のとき、$B = \arcsin{\frac{\sqrt{35}}{6}} = \arcsin{0.986}$

$a = \frac{8}{3} = 2.66...$は$2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$を満たさない。

$2\sqrt{2} = 2 \cdot 1.414 = 2.828$, $\sqrt{10} = 3.16$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2} < a < \sqrt{10}$

(2) $a = 3$