座標平面上の4点A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1)が与えられている。線分PQ上に点Rがあり、そのx座標は$a$である。三角形ABRの外接円をCとし、その中心をSとする。 (1) 線分ARの中点Mの座標を$a$を用いて表す。 (2) 外接円Cの中心Sの座標を求めるための方針と、その方針に基づいてSの座標を$a$を用いて表す。

1. 問題の内容

座標平面上の4点A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1)が与えられている。線分PQ上に点Rがあり、そのx座標は$a$である。三角形ABRの外接円をCとし、その中心をSとする。

(1) 線分ARの中点Mの座標を$a$を用いて表す。

(2) 外接円Cの中心Sの座標を求めるための方針と、その方針に基づいてSの座標を$a$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Rの座標を求める。点Rは線分PQ上にあるので、直線PQの方程式を求める。

直線PQの傾きは $\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ である。

直線PQの方程式は、$y-1 = -1(x-1)$より、$y = -x + 2$となる。

点Rのx座標は$a$なので、Rのy座標は$y = -a + 2$となる。

したがって、Rの座標は$(a, -a+2)$である。

次に、線分ARの中点Mの座標を求める。A(-1, 0), R(a, -a+2)なので、

Mの座標は $(\frac{-1+a}{2}, \frac{0+(-a+2)}{2}) = (\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$となる。

(2) 外接円の中心Sは、線分ABの垂直二等分線と、線分ARの垂直二等分線の交点である。

線分ABの垂直二等分線は、ABの中点(0, 0)を通り、x軸に垂直な直線なので、y軸を表す$x=0$である。

したがって、Sのx座標は0である。

外接円の中心Sは、線分ARの垂直二等分線上にもある。線分ARの中点Mの座標は$(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$である。

線分ARの傾きは$\frac{-a+2 - 0}{a - (-1)} = \frac{-a+2}{a+1}$である。

線分ARの垂直二等分線の傾きは$-\frac{a+1}{-a+2} = \frac{a+1}{a-2}$である。

線分ARの垂直二等分線の方程式は、$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(x - \frac{a-1}{2})$である。

Sのx座標は0なので、$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(0 - \frac{a-1}{2})$

$y = \frac{-a+2}{2} - \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} = \frac{(-a+2)(a-2) - (a^2-1)}{2(a-2)} = \frac{-a^2 + 4a - 4 - a^2 + 1}{2(a-2)} = \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)}$

したがって、Sの座標は$(0, \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)})$である。

これを問題の形式に合わせると、$(\frac{0 a^2 + 0 a - 0}{2a - 4})$となる。

3. 最終的な答え

(1) Mの座標は $(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$である。

ア：a, イ：1, ウ：2, エオ：2, カ：2, キ：2

(2) ク：0, ケ：1

Sの座標は $(0, \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)})$である。

コ：0, サシ：-2, ス：4, セ：3, ソ：2, タ：2