2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を求める問題です。問題には2つのケースがあります。 (1) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 3)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$ (2) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (3, -2)$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を求める問題です。問題には2つのケースがあります。

(1) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 3)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$

(2) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (3, -2)$

2. 解き方の手順

2つのベクトルのなす角 $\theta$ は、内積の公式を用いて求めることができます。内積の公式は以下の通りです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ はベクトルの内積、$|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ はそれぞれのベクトルの大きさです。したがって、$\cos{\theta}$ は次のように表されます。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\theta = \arccos(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|})$

(1) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 3)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$ の場合

まず、内積を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})(-1) + (3)(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

次に、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{(2\sqrt{3})(2)} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$)

(2) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (3, -2)$ の場合

まず、内積を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (3)(-2) = 6 - 6 = 0$

$\cos{\theta} = \frac{0}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = 0$

$\theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ (または $90^{\circ}$)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$)

(2) $\frac{\pi}{2}$ (または $90^{\circ}$)