与えられた条件から直線の媒介変数表示を求める問題です。 (1) 点(1, 4)を通り、方向ベクトルが(2, 3)の直線 (2) 点(3, 5)を通り、方向ベクトルが(4, 0)の直線 (3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通る直線

1. 問題の内容

与えられた条件から直線の媒介変数表示を求める問題です。

(1) 点(1, 4)を通り、方向ベクトルが(2, 3)の直線

(2) 点(3, 5)を通り、方向ベクトルが(4, 0)の直線

(3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通る直線

2. 解き方の手順

直線の媒介変数表示は、点と方向ベクトルが与えられたとき、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{v}$

で表されます。ここで、$\vec{p}$は直線上の任意の点の位置ベクトル、$\vec{a}$は与えられた点の位置ベクトル、$\vec{v}$は方向ベクトル、$t$は媒介変数です。

(1) 通る点が(1, 4)、方向ベクトルが(2, 3)なので、位置ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$、方向ベクトルは$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$です。

よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 4 + 3t \end{cases}$

(2) 通る点が(3, 5)、方向ベクトルが(4, 0)なので、位置ベクトルは$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$、方向ベクトルは$\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$です。

よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x = 3 + 4t \\ y = 5 \end{cases}$

(3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通るので、方向ベクトルは$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$です。

点Aを通るとすると、位置ベクトルは$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$、方向ベクトルは$\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$です。

よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -2 + 5t \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 4 + 3t \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x = 3 + 4t \\ y = 5 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -2 + 5t \end{cases}$