直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求めます。 (2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求めます。 (3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求めます。

(2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求めます。

(3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは、直線の式から $(1, -2)$ の係数を取り出して $(1, -2)$ と表されます。もしくは、係数の符号を反転させて $(1, -2)$としても構いません。

(2) 直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の方向ベクトルは、$l$ の法線ベクトル $(1, -2)$ に垂直なベクトルになります。 $l$ の方向ベクトルは $(2, 1)$ と書けます。点 $P(2, -1)$ を通り、方向ベクトルが $(2, 1)$ である直線 $l_1$ の媒介変数表示は、

$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + t \end{cases}$

と表せます。ここで $t$ は媒介変数です。

(3) $l$ と $l_1$ の交点を求めるためには、$l_1$ の媒介変数表示を $l$ の方程式に代入します。

$(2 + 2t) - 2(-1 + t) + 1 = 0$

$2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 0$

$5 = 0$

これは矛盾しているので、媒介変数の置き方が間違っています。

$l_1$は点P(2,-1)を通り、$l$の法線ベクトル(1,-2)と垂直なので方向ベクトルは(2,1)なので、

$l_1$の媒介変数表示は

$x = 2 + 2t$

$y = -1 + t$

これをlの方程式に代入する。

$(2+2t) -2(-1+t) + 1 = 0$

$2+2t + 2 -2t + 1 = 0$

$5 = 0$となり、これは矛盾しています。どこかで計算ミスをしている可能性があります。

直線$l: x - 2y + 1 = 0$の法線ベクトルは$\vec{n} = (1,-2)$です。したがって、直線$l_1$の方向ベクトルは$(1,-2)$で、点P(2,-1)を通るので、直線$l_1$の媒介変数表示は、

$x = 2+t$

$y = -1 -2t$

と表されます。

これを直線$l$の方程式に代入すると、

$(2+t) -2(-1-2t)+1 = 0$

$2+t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t = -5$

$t = -1$

$t=-1$を$l_1$の媒介変数表示に代入すると、

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 -2(-1) = 1$

したがって、交点の座標は $(1, 1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) (1, -2)

(2) $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - 2t \end{cases}$

(3) (1, 1)