$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $L, M, N$ とする。任意の点 $O$ に対して、 $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $L, M, N$ とする。任意の点 $O$ に対して、

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON}$

が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$L, M, N$ はそれぞれ辺 $BC, CA, AB$ の中点であるから、

$\vec{OL} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$

$\vec{OM} = \frac{\vec{OC} + \vec{OA}}{2}$

$\vec{ON} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

が成り立つ。

これらを足し合わせると、

$\vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OC} + \vec{OA}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

$= \frac{2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC}}{2}$

$= \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

よって、$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON}$ が成り立つ。