与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。 (1) 原点(0, 0)と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ との距離を求める。 (2) 点(-2, 5)と直線 $y = -4x + 1$ との距離を求める。

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。

(1) 原点(0, 0)と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ との距離を求める。

(2) 点(-2, 5)と直線 $y = -4x + 1$ との距離を求める。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 原点(0, 0)と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ との距離を求める。

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 2$, $b = -3$, $c = 6$ を上記の公式に代入します。

$d = \frac{|2(0) - 3(0) + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

(2) 点(-2, 5)と直線 $y = -4x + 1$ との距離を求める。

まず、直線の式を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$4x + y - 1 = 0$

$x_0 = -2$, $y_0 = 5$, $a = 4$, $b = 1$, $c = -1$ を上記の公式に代入します。

$d = \frac{|4(-2) + 1(5) - 1|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \frac{|-8 + 5 - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

(1) 原点と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ の距離は $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

(2) 点(-2, 5)と直線 $y = -4x + 1$ の距離は $\frac{4\sqrt{17}}{17}$