平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle{BAD} = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle{BAD} = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いてACの長さを求める。

平行四辺形の隣り合う辺の長さと、その間の角の大きさが分かっているので、余弦定理が適用できる。

$\triangle ABD$において、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle{BAD} = 30^\circ$であるから、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle{BAD}}$

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos{30^\circ}$

$AC^2 = 3 + 25 - 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC^2 = 28 - 10 \cdot \frac{3}{2}$

$AC^2 = 28 - 15$

$AC^2 = 13$

ACの長さは正なので、

$AC = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$