座標平面上の4点 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$, $P(-1, 3)$, $Q(1, 1)$ が与えられています。線分 $PQ$ 上に点 $R$ があり、$R$ の $x$ 座標は $a$ です。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とします。 (1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表します。 (2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針として、どのような交点を利用するかを選択肢から選び、$S$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$, $P(-1, 3)$, $Q(1, 1)$ が与えられています。線分 $PQ$ 上に点 $R$ があり、$R$ の $x$ 座標は $a$ です。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とします。

(1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表します。

(2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針として、どのような交点を利用するかを選択肢から選び、$S$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $R$ の座標を $a$ を用いて表します。点 $R$ は線分 $PQ$ 上にあるので、$PQ$ の方程式を求めます。$PQ$ の傾きは $\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ です。よって、$PQ$ の方程式は $y - 1 = -1(x - 1)$ より $y = -x + 2$ となります。点 $R$ の $x$ 座標は $a$ なので、$R(a, -a+2)$ です。

次に、線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を求めます。$M$ の $x$ 座標は $\frac{-1 + a}{2} = \frac{a-1}{2}$、$y$ 座標は $\frac{0 + (-a+2)}{2} = \frac{-a+2}{2}$ です。よって、$M\left(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2}\right)$ となります。

(2) 外接円の中心 $S$ は、三角形 $ABR$ の各辺の垂直二等分線の交点です。ここでは、線分 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AR$ の垂直二等分線の交点として $S$ を求めます。

線分 $AB$ の垂直二等分線は、$x = 0$ です。

線分 $AR$ の垂直二等分線は、点 $M$ を通り、$AR$ に垂直な直線です。$AR$ の傾きは $\frac{-a+2 - 0}{a - (-1)} = \frac{-a+2}{a+1}$ なので、垂直な直線の傾きは $\frac{a+1}{a-2}$ です。

よって、$AR$ の垂直二等分線の方程式は $y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}\left(x - \frac{a-1}{2}\right)$ です。

外接円の中心 $S$ は $x=0$ 上にあるので、$x = 0$ を代入します。

$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}\left(0 - \frac{a-1}{2}\right)$

$y = \frac{-a+2}{2} - \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} = \frac{(-a+2)(a-2) - (a^2-1)}{2(a-2)} = \frac{-a^2+4a-4-a^2+1}{2(a-2)} = \frac{-2a^2+4a-3}{2(a-2)}$

したがって、$S\left(0, \frac{-2a^2+4a-3}{2(a-2)}\right)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $M\left(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2}\right)$

(2) ク：0, ケ：1

$S\left(0, \frac{-2a^2+4a-3}{2a-4}\right)$