正九角形の頂点から3点を選んで三角形を作る。以下の個数を求めよ。 (1) 作れる三角形の総数 (2) 正九角形と2辺を共有する三角形の数 (3) 正九角形と1辺を共有する三角形の数 (4) 正九角形と辺を共有しない三角形の数

1. 問題の内容

正九角形の頂点から3点を選んで三角形を作る。以下の個数を求めよ。

(1) 作れる三角形の総数

(2) 正九角形と2辺を共有する三角形の数

(3) 正九角形と1辺を共有する三角形の数

(4) 正九角形と辺を共有しない三角形の数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の総数

9個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考える。これは組み合わせの数 $_9C_3$ で計算できる。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) 2辺を共有する三角形の数

2辺を共有する三角形は、正九角形の隣り合う2辺を共有している。このような三角形は、正九角形の頂点の数だけ存在する。したがって、9個である。

(3) 1辺を共有する三角形の数

正九角形の1つの辺を固定する。その辺と正九角形の頂点から三角形を作る。ただし、2辺を共有する三角形は除外する必要がある。1つの辺に対して、残りの頂点は7個ある。ただし、両端の頂点を選ぶと2辺を共有する三角形になるので、これら2つを除くと、1つの辺に対して5個の三角形を作ることができる。正九角形には9つの辺があるので、$5 \times 9 = 45$個の三角形ができる。

(4) 辺を共有しない三角形の数

三角形の総数から、2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形の数を引けばよい。

$84 - 9 - 45 = 30$

別の方法として、直接計算することもできる。

正九角形の頂点に1から9までの番号をつける。

最初の頂点を1とすると、残りの2つの頂点の選び方を考える。

これらの頂点の間の間隔をそれぞれ $x$ と $y$ とする。

$x+y \le 6$ が成り立つ必要がある。 ($x \ge 2$, $y \ge 2$)

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$ とすると、$x' + y' \le 4$, $x' \ge 1$, $y' \ge 1$

$x'' = x' - 1$, $y'' = y' - 1$ とすると、$x'' + y'' \le 2$, $x'' \ge 0$, $y'' \ge 0$

$x'' + y'' = k$, $k = 0, 1, 2$ のそれぞれについて考える。

$k=0$ のとき、1通り

$k=1$ のとき、2通り

$k=2$ のとき、3通り

合計で $1+2+3=6$ 通り

9つの頂点から選んだ最初の頂点に依存しないので、正九角形は回転対称性を持つ。

したがって、$6 \times 9 / 3 = 18$ 通りではない。

最初の点を1とすると、

(1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 3, 7), (1, 4, 6), (1, 4, 7), (1, 4, 8), (1, 5, 7), (1, 5, 8), (1, 5, 9), (1, 6, 8), (1, 6, 9), (1, 6, 10)となるが、10は1と等価

18通りではない。

$84 - 9 - 45 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 84個

(2) 9個

(3) 45個

(4) 30個