座標平面上の4点 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$, $P(-1, 3)$, $Q(1, 1)$ が与えられています。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とします。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とします。 (1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表します。 (2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針と、それを用いて $S$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$, $P(-1, 3)$, $Q(1, 1)$ が与えられています。線分 $PQ$ 上に点 $R$ をとり、その $x$ 座標を $a$ とします。三角形 $ABR$ の外接円を $C$ とし、その中心を $S$ とします。

(1) 線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を $a$ を用いて表します。

(2) 外接円 $C$ の中心 $S$ の座標を求める方針と、それを用いて $S$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $R$ の座標を求めます。点 $R$ は線分 $PQ$ 上にあるので、線分 $PQ$ の方程式を求めます。

$P(-1, 3)$, $Q(1, 1)$ より、傾きは $\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ です。

よって、線分 $PQ$ の方程式は $y - 1 = -1(x - 1)$ より、 $y = -x + 2$ となります。

点 $R$ の $x$ 座標は $a$ なので、$R(a, -a+2)$ となります。

次に、線分 $AR$ の中点 $M$ の座標を求めます。$A(-1, 0)$, $R(a, -a+2)$ より、中点 $M$ の座標は $\left(\frac{-1+a}{2}, \frac{0+(-a+2)}{2}\right) = \left(\frac{a-1}{2}, \frac{2-a}{2}\right)$ となります。

(2) 外接円の中心 $S$ は、三角形 $ABR$ の各辺の垂直二等分線の交点です。特に、線分 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AR$ の垂直二等分線の交点として求められます。

線分 $AB$ の垂直二等分線は、$AB$ の中点である $(0, 0)$ を通り、$x$ 軸に垂直な直線なので、$x=0$ となります。

したがって、$S$ は、線分 $AB$ の垂直二等分線と線分 $AR$ の垂直二等分線の交点です。

選択肢より、線分 $AB$ の垂直二等分線 (0) と線分 $AR$ の垂直二等分線 (1) が答えです。

次に、$S$ の座標を求めます。$S$ は線分 $AB$ の垂直二等分線上にあるので、$S$ の $x$ 座標は $0$ です。$S(0, y)$ とおきます。

$SA = SB = SR$ より、$SA^2 = SB^2 = SR^2$ が成り立ちます。

$SA^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 1 + y^2$

$SB^2 = (0 - 1)^2 + (y - 0)^2 = 1 + y^2$

$SR^2 = (0 - a)^2 + (y - (-a+2))^2 = a^2 + (y+a-2)^2$

$SA^2 = SR^2$ より、$1 + y^2 = a^2 + (y+a-2)^2$

$1 + y^2 = a^2 + y^2 + 2(a-2)y + (a-2)^2$

$1 = a^2 + 2(a-2)y + a^2 - 4a + 4$

$2(2-a)y = 2a^2 - 4a + 3$

$y = \frac{2a^2 - 4a + 3}{2(2-a)} = \frac{2a^2 - 4a + 3}{-2a+4}$

$S\left(0, \frac{2a^2 - 4a + 3}{4 - 2a}\right)$

3. 最終的な答え

(1) Mの座標は $\left(\frac{a-1}{2}, \frac{2-a}{2}\right)$ です。

ア:a, イ:-1, ウ:2, エオ:2, カ:-, キ:2

(2) ク:0, ケ:1

Sの座標は $\left(0, \frac{2a^2 - 4a + 3}{4-2a}\right)$ です。

コ:0, サシ:2, ス:-4, セ:3, ソ:-2, タ:4