$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:5$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。 (2) 線分$OP$の延長と線分$AB$の交点を$E$とするとき、$OP:PE$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:5$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

(2) 線分$OP$の延長と線分$AB$の交点を$E$とするとき、$OP:PE$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$P$は線分$AD$上にあるので、$s$を実数として

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{2}{7}\vec{b}$と表せる。

同様に、点$P$は線分$BC$上にあるので、$t$を実数として

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{3}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{2}{7}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = \frac{7}{11}$、 $t = \frac{10}{11}$

したがって、$\vec{OP} = (1-\frac{7}{11})\vec{a} + \frac{7}{11}\frac{2}{7}\vec{b} = \frac{4}{11}\vec{a} + \frac{2}{11}\vec{b}$

(2) 点$E$は線分$AB$上にあるので、$k$を実数として

$\vec{OE} = k\vec{OA} + (1-k)\vec{OB} = k\vec{a} + (1-k)\vec{b}$と表せる。

$\vec{OP}$は$\vec{OE}$のスカラー倍であるから、$l$を実数として

$\vec{OE} = l\vec{OP} = l(\frac{4}{11}\vec{a} + \frac{2}{11}\vec{b}) = \frac{4l}{11}\vec{a} + \frac{2l}{11}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$k = \frac{4l}{11}$

$1-k = \frac{2l}{11}$

この連立方程式を解く。

$1 = \frac{6l}{11}$

$l = \frac{11}{6}$

よって、$\vec{OE} = \frac{11}{6}\vec{OP}$

したがって、$OE = \frac{11}{6}OP$

$OP:OE = 6:11$

$OP:(OE-OP) = 6:(11-6)$

$OP:PE = 6:5$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{4}{11}\vec{a} + \frac{2}{11}\vec{b}$

(2) $OP:PE = 6:5$