座標平面上に4点A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1)がある。線分PQ上に点Rをとり、そのx座標を$a$とする。三角形ABRの外接円をCとし、その中心をSとする。 (1) 線分ARの中点Mの座標を$a$を用いて表す。 (2) 外接円Cの中心Sの座標を求める方針を説明し、Sの座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に4点A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1)がある。線分PQ上に点Rをとり、そのx座標を$a$とする。三角形ABRの外接円をCとし、その中心をSとする。

(1) 線分ARの中点Mの座標を$a$を用いて表す。

(2) 外接円Cの中心Sの座標を求める方針を説明し、Sの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Rの座標を求める。Rは線分PQ上にあるので、直線PQの方程式を求める。

直線PQの傾きは、$\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$

直線PQの方程式は、$y - 1 = -1(x - 1)$より、$y = -x + 2$

Rのx座標が$a$なので、y座標は$y = -a + 2$

よって、R(a, -a+2)

線分ARの中点Mの座標は、

$M = (\frac{-1+a}{2}, \frac{0+(-a+2)}{2}) = (\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$

(2)

外接円Cの中心Sは、三角形ABRの外心である。外心は、各辺の垂直二等分線の交点である。

したがって、「ク」と「ケ」には、線分ABの垂直二等分線と、線分ARの垂直二等分線が当てはまる。

線分ABの垂直二等分線は、$x=0$である。

線分ARの垂直二等分線上の点を(x, y)とすると、ARの中点$(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$を通り、ARに垂直な直線である。

ARの傾きは$\frac{-a+2-0}{a-(-1)} = \frac{-a+2}{a+1}$

垂直な直線の傾きは$\frac{a+1}{a-2}$

線分ARの垂直二等分線の方程式は、$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(x - \frac{a-1}{2})$

外心Sの座標は、線分ABの垂直二等分線$x=0$と線分ARの垂直二等分線の交点なので、$x=0$を代入すると、

$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2}(0 - \frac{a-1}{2})$

$y = \frac{-a+2}{2} - \frac{(a+1)(-(a-1))}{2(a-2)} = \frac{-a+2}{2} + \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} = \frac{-a+2}{2} + \frac{a^2-1}{2(a-2)} = \frac{(-a+2)(a-2) + a^2-1}{2(a-2)} = \frac{-a^2+4a-4+a^2-1}{2(a-2)} = \frac{4a-5}{2(a-2)}$

したがって、Sの座標は、$(0, \frac{4a-5}{2(a-2)})$

3. 最終的な答え

(1) Mの座標: $(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$

(2) ク: 0, ケ: 1

Sの座標: $(0, \frac{4a-5}{2a-4})$