円の接線に関する問題で、PTは円の接線であり、PA=2, PT=y, AB=yであるとき、yの値を求める問題です。

1. 問題の内容

円の接線に関する問題で、PTは円の接線であり、PA=2, PT=y, AB=yであるとき、yの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の接線に関する定理（接線と割線の定理）を用います。この定理は、円外の点Pから円に接線PTと割線PABを引いたとき、$PT^2 = PA \cdot PB$が成り立つというものです。

図から、$PA = 2$, $PT = y$, $AB = y$なので、$PB = PA + AB = 2 + y$となります。

これらを接線と割線の定理の式に代入すると、以下のようになります。

$y^2 = 2(2 + y)$

この式を展開して整理します。

$y^2 = 4 + 2y$

$y^2 - 2y - 4 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を用います。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$のとき、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$です。

ここでは、$a=1$, $b=-2$, $c=-4$なので、

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$

$y = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$y = 1 \pm \sqrt{5}$

$y$は長さなので正の値を取る必要があります。そのため、$y = 1 - \sqrt{5}$は不適です。よって、$y = 1 + \sqrt{5}$が解となります。

3. 最終的な答え

$y = 1 + \sqrt{5}$