三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=6$, $CA=5$とする。内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をDとする。AD:DB, AD, CI:IDを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=6$, $CA=5$とする。内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をDとする。AD:DB, AD, CI:IDを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AD:DBを求めます。角の二等分線の性質より、

$AD:DB = CA:CB = 5:6$

したがって、AD:DB = 5:6です。

次に、ADの長さを求めます。$AD = \frac{5}{5+6}AB = \frac{5}{11} \times 4 = \frac{20}{11}$

したがって、$AD = \frac{20}{11}$です。

最後に、CI:IDを求めます。

メネラウスの定理を△ABDと直線CIに適用すると、

$\frac{BC}{CA} \cdot \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BI}{IC} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{IC}{CI} = 1$

$BD = AB - AD = 4 - \frac{20}{11} = \frac{44-20}{11} = \frac{24}{11}$

次に、△ABCにおいて、ADは∠Aの二等分線であるから、

$CD:DB=AC:BC = 5:6$

$CD = \frac{CA +CB}{AC} \cdot BD = \frac{5}{AC} \frac{6}{11}=\frac{DB}{CA+CB}$.

$CD:AD = CA:AD/BD=11$: 20/24

内心Iは角の二等分線上にあります。

△ABCにおいて、

$AD:DB = AC:BC = 5:6$ より、$AD = \frac{5}{11}AB = \frac{20}{11}$、$BD = \frac{6}{11}AB = \frac{24}{11}$

次に、直線CIと辺ABの交点をDとすると、Dは∠ACBの二等分線上にあるので、$AD:BD = AC:BC = 5:6$

内心Iは角の二等分線上にあります。

$CI:ID$ を求める。

$AC+BC= 5+6= 11$.

$CI:ID = (AC+BC):AB = 11:4$.

3. 最終的な答え

AD:DB = 5:6

AD = 20/11

CI:ID = 11:4