一辺の長さが $a$ の正八面体の体積と、この正八面体に外接する球、内接する球の半径を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正八面体の体積と、この正八面体に外接する球、内接する球の半径を求める。

2. 解き方の手順

正八面体は、正四角錐を2つ底面で貼り合わせた形と見ることができる。

まず、正八面体の体積を求める。次に、正八面体に外接する球の半径と、内接する球の半径を求める。

(1) 正八面体の体積:

正八面体は、正方形を底面とする二つの合同な四角錐を底面同士で貼り合わせたものと考えられます。底面の正方形の対角線の長さは $a\sqrt{2}$ となります。

四角錐の高さ $h$ は、底面の対角線の交点から頂点までの距離で、$h = \frac{a}{\sqrt{2}}$ で表されます。

正四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ であり、底面積は $a^2$ なので、

正四角錐の体積は $\frac{1}{3} a^2 \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3$ となります。

正八面体は2つの正四角錐を組み合わせたものなので、その体積 $V$ は

$V = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

(2) 外接球の半径:

正八面体の頂点は外接球面上にあります。外接球の中心は正八面体の中心と一致します。

したがって、外接球の半径 $R$ は、正八面体の頂点から中心までの距離に等しくなります。

これは四角錐の高さを求める時に出てきた底面の正方形の対角線の交点から頂点までの距離 $h = \frac{a}{\sqrt{2}}$ と同じなので、$R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$

(3) 内接球の半径:

正八面体の各面は正三角形であり、内接球は正三角形の面に接します。

内接球の中心から正三角形の面までの距離が内接球の半径 $r$ です。

正八面体の体積は、内接球の中心から各頂点を結ぶ８つの四面体に分割できると考えられます。

各四面体の体積は $\frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ であり、底面積は正三角形の面積 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$、高さは $r$ であるため、四面体の体積は $\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times r = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2 r$ となります。

正八面体は８つの四面体で構成されるので、正八面体の体積は $8 \times \frac{\sqrt{3}}{12}a^2 r = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2 r$ となります。

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3 = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2 r$

$r = \frac{\sqrt{2}a^3}{2\sqrt{3}a^2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{6}a$

3. 最終的な答え

正八面体の体積: $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

外接球の半径: $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

内接球の半径: $\frac{\sqrt{6}}{6}a$