直角三角形を用いて、$0 < x < 1$ のとき、次の等式を証明する問題です。 $$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$$

1. 問題の内容

直角三角形を用いて、$0 < x < 1$ のとき、次の等式を証明する問題です。

$$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた直角三角形ABCにおいて、$\angle ABC = y$ とします。

定義より、$\sin y = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{1} = x$ です。

したがって、$y = \sin^{-1} x$ が成り立ちます。

次に、$\cos y$ を求めます。

直角三角形ABCにおいて、$\cos y = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2}$ です。

したがって、$y = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ が成り立ちます。

以上の議論から、$y = \sin^{-1} x$ かつ $y = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ であるため、

$$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$$

が証明されました。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$