円に内接する四角形 $ABCD$ について、以下の条件が与えられている。 $AB = 1$, $BC = 5$, $\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{5}$, 四角形 $ABCD$ の面積は $4\sqrt{6}$ である。$CD > AD$ のとき、辺 $CD$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ について、以下の条件が与えられている。

$AB = 1$, $BC = 5$, $\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{5}$, 四角形 $ABCD$ の面積は $4\sqrt{6}$ である。$CD > AD$ のとき、辺 $CD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ について余弦定理より、$AC$ の長さを求める。

$\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{5}$ なので、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC} = 1^2 + 5^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = 1 + 25 + 2 = 28$

よって、$AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

(2) 四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$ となる。

したがって、$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^{\circ} - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC} = \frac{1}{5}$

(3) $\triangle ADC$ について、$AD = x$, $CD = y$ とおくと、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$(2\sqrt{7})^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \frac{1}{5}$

$28 = x^2 + y^2 - \frac{2}{5}xy$

(4) 四角形 $ABCD$ の面積は $4\sqrt{6}$ であるから、

$\triangle ABC + \triangle ADC = 4\sqrt{6}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 \cdot \sin{\angle ABC}$

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$ より、$\sin^2{\angle ABC} = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin{\angle ABC} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} xy \sin{(180^{\circ} - \angle ABC)} = \frac{1}{2} xy \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} xy \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{\sqrt{6}}{5} xy$

したがって、$\sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{5}xy = 4\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{6}}{5}xy = 3\sqrt{6}$

$xy = 15$

(5) $28 = x^2 + y^2 - \frac{2}{5} xy$ に $xy = 15$ を代入して、

$28 = x^2 + y^2 - \frac{2}{5} \cdot 15$

$28 = x^2 + y^2 - 6$

$x^2 + y^2 = 34$

(6) $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 64$

$x+y = 8$ （$x,y > 0$ より）

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 34 - 2 \cdot 15 = 4$

$x-y = \pm 2$

(7) $x+y = 8$, $x-y = 2$ より $2x = 10$, $x = 5$, $y = 3$

$x+y = 8$, $x-y = -2$ より $2x = 6$, $x = 3$, $y = 5$

$CD > AD$ より $y > x$ であるので、$x = 3$, $y = 5$

3. 最終的な答え

$CD = 5$