1辺の長さが $a$ の正八面体の体積と、この正八面体に外接する球、内接する球の半径を求める。

1. 問題の内容

1辺の長さが $a$ の正八面体の体積と、この正八面体に外接する球、内接する球の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、正八面体の体積を求める。正八面体は、正四角錐2つを底面で貼り合わせたものと見ることができる。正四角錐の底面は1辺の長さが $a$ の正方形であり、高さは正方形の対角線の半分である。正方形の対角線の長さは $a\sqrt{2}$ であるから、高さは $a\sqrt{2}/2$ となる。したがって、正四角錐の体積は、

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\frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} a^3}{6}

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正八面体は正四角錐2つ分の体積を持つので、正八面体の体積は

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2 \times \frac{\sqrt{2} a^3}{6} = \frac{\sqrt{2} a^3}{3}

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次に、正八面体に外接する球の半径を求める。外接球の半径は、正八面体の頂点までの距離に等しい。これは、正四角錐の頂点までの距離に等しく、$a$ である。

最後に、正八面体に内接する球の半径を求める。内接球の半径は、正八面体の面（正三角形）の中心までの距離に等しい。正八面体の中心から正三角形の面までの垂線の長さが内接球の半径となる。正八面体は各面が合同な正三角形であり、その面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。

正八面体の体積を $V$、内接球の半径を $r$ とすると、正八面体の体積は、8つの合同な四面体の体積の和となる。

各四面体は底面が正三角形の面で、高さが内接球の半径 $r$ である。

したがって、

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V = 8 \times \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times r

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正八面体の体積は $\frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ なので、

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\frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = \frac{2\sqrt{3}}{3} a^2 r

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r = \frac{\sqrt{2} a^3}{2\sqrt{3} a^2} = \frac{\sqrt{2} a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} a}{6}

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3. 最終的な答え

正八面体の体積: $\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$

外接球の半径: $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

内接球の半径: $\frac{\sqrt{6}a}{6}$