一辺の長さが $a$ の正八面体の体積、外接する球の半径、内接する球の半径を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正八面体の体積、外接する球の半径、内接する球の半径を求める。

2. 解き方の手順

正八面体は、正四角錐2つを底面で貼り合わせた形と考えることができます。正四角錐の高さ $h$ は、底面の一辺の長さが $a$ の正方形で、側面は一辺が $a$ の正三角形なので、

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}a$

したがって、正八面体の体積 $V$ は、底面積 $a^2$ 、高さ $2h$ の四角錐の体積の2倍なので、

$V = 2 \times \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

次に、正八面体に外接する球の半径を求めます。正八面体の頂点は球面上にあり、正八面体の対角線は球の直径に等しくなります。正八面体の対角線の長さは $a\sqrt{2}$ なので、外接球の半径 $R$ は

$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$

最後に、正八面体に内接する球の半径を求めます。正八面体の中心から各面までの距離が内接球の半径となります。正八面体は8つの合同な正四面体で構成されていると考えることができます。正八面体の体積は正四面体の体積の8倍に等しく、また、正四面体の底面積は正三角形であり、面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ です。内接球の半径を $r$ とすると、正四面体の体積は $\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times r$ で表され、正八面体の体積は $8 \times \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times r = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2r$ で表されます。正八面体の体積は $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$ であるため、

$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3 = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2r$

$r = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{6}a$

3. 最終的な答え

正八面体の体積: $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

外接球の半径: $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

内接球の半径: $\frac{\sqrt{6}}{6}a$